今月5日に会社都合で退職しました。

今月5日に会社都合で退職しました。その後、ある会社から、週3で1日7時間、パート（雇用保険無し）で働かないか？
とお誘いを頂き、失業保険の受給は今回は諦めた方がいいのか？何か良い方法があるのか？の質問です。
年齢も40台後半でスキルも無く・・・なので、今後の就活は厳しい？です。お誘いの会社は、雇用期間（3～6ヶ月）過ぎたら、フルタイムで働ける様に働き掛けてくださるとの事で、高・大学生の子供にお金が掛かるので、出来れば、失業保険とパート代と頂ければ幸いです。失業保険の手続きをしたら、パートの申請も勿論します。もし、前会社で掛けていた、雇用保険を新会社でフルに働けるようになったら加算できるのかも、お知恵を貸してください。今現在、会社からの、離職票待ちの状態で（今週中届く予定）、新しい会社は、一応、4/1から出社予定です。年の割りに、一般常識を知らなくて恥ずかしいのですが、是非とも宜しくお願いします。

週３日７時間は、おそらく就職とみなされ雇用保険の受給は出来ないと思いますが、ハローワークが判断すべき事なのでハローワークで尋ねてみる事です。
ただ、雇用保険の受給が可能になったとしても、働いた日は雇用保険の手当は不支給になります。
両方を同時に、と言うわけにはいきません。

雇用保険の加算については、手当の受給がなければ被保険者期間は通算（合算）されますが、一度でも手当を受給するとそれまでの被保険者期間はリセットされゼロになります。

※離職票があるなら、ハローワークへ行き相談してみる事です。

失業保険についての質問です。
2010年3月に以前の職場を退職し、失業保険の手続きをしてその年の6月までに45日分の失業保険を給付されました。
その後、同年7月に就職したのですが、今年3月で再度退職することになりました。
この場合、再度失業手当を申請した場合、失業保険は給付されるのでしょうか？
ご存じのかたや実際にこのような短期間で手続きされたかたがいらっしゃいましたら
教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

１０年７月の入社で、１２年３月の退職であれば、おそらく雇用保険の被保険者期間は１２か月以上あると思うので、自己都合による退職でも受給可能です。

ただし、１０年７月に再就職した時に、再就職手当、就業手当などを受け取っていると、今回は再就職手当、就業手当は受け取れません。

今の会社で雇用保険に入っているかどうか、期間などを知りたい場合は、ハローワークに出向けば教えてくれるのではないかと思います。加入しているかどうかは確実にわかります。期間を教えてくれるかどうかは知りませんけど、教えられない理由はないと思うので、教えてくれるでしょう。一応、個人情報だと思いますから、印鑑と身分証明書は持って行きましょう。本人確認が必要でしょうから。印鑑は拇印でもいいかもしれないですけど。できればシャチハタ以外にしましょう。

傷病手当金の申請について教えてください。
抑鬱で精神科にかかっている場合、月の最低受診回数等決められているのでしょうか。

体調が悪く、次回受診まで一ヶ月以上あいてしまった場合は、申請は通らないのでしょうか？

また、病院で用紙に記入してもらうと1000円ほどかかりますが、申請書は毎月提出しなければならないのでしょうか？
三ヶ月分をまとめて申請する事は可能なのでしょうか？

傷病手当金を受給するには、入院か通院をしていることが条件となります。

受診の期間が開いてしまった場合、医師からの証明が受けられなくなることがあります。

３ヶ月分まとめてということですが医師の指示に従い通院と経過観察を受けていないと例えなんとか医師の証明を受けられたとしても、傷病手当金の最終的な支払可否判断は保険者にありますのでそちらから
不支給の通知がきた場合
支払われなくなりますので決められた通院はされていた方がいいと思います。